X^2+81/x найти наименьшее значение функции на отрезке [4;20]

Ответы на вопрос

Отвечает Zabijako Diana.

Давайте разберём задачу подробно, шаг за шагом. Нам нужно найти наименьшее значение функции

f(x) = x^2 + \frac{81}{x}

на отрезке $[4, 20]$ .

Чтобы найти экстремумы функции, сначала берём производную:

f'(x) = \frac{d}{dx} \left(x^2 + \frac{81}{x}\right) = 2x - \frac{81}{x^2}.

Приравниваем производную к нулю:

2x - \frac{81}{x^2} = 0

2x = \frac{81}{x^2}

2x^3 = 81

x^3 = \frac{81}{2} = 40.5

x = \sqrt[3]{40.5} \approx 3.44

Наш отрезок — $[4, 20]$ . Критическая точка $x \approx 3.44$ не входит в отрезок, значит, минимум может быть только на границах отрезка.

f(4) = 4^2 + \frac{81}{4} = 16 + 20.25 = 36.25

f(20) = 20^2 + \frac{81}{20} = 400 + 4.05 = 404.05

Сравниваем:

f(4) = 36.25, \quad f(20) = 404.05

Наименьшее значение функции на отрезке $[4, 20]$ равно:

\boxed{36.25}

Ответ: наименьшее значение функции $x^2 + 81/x$ на отрезке $[4,20]$ достигается в точке $x = 4$ и равно $36.25$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос