Имеется квадратный лист бумаги, сторона которого 8 см. Через середины каждой пары соседних сторон провели карандашом отрезки и по ним выполнили разрезы ножницами. Какова площадь получившегося квадрата?

Давай разберём задачу шаг за шагом.

1. Исходные данные:
   У нас есть квадрат со стороной $8$ см. Через середины каждой пары соседних сторон проведены отрезки и сделаны разрезы. Обычно это значит, что мы соединяем середины смежных сторон (например, верхней и правой, правой и нижней, нижней и левой, левой и верхней). В итоге вырезаем внутренний квадрат, повернутый на 45° относительно исходного.

2. Определяем сторону нового квадрата:
   Пусть исходный квадрат $ABCD$ с вершинами $A, B, C, D$. Середины сторон:

   • $M$ — середина $AB$

   • $N$ — середина $BC$

   • $P$ — середина $CD$

   • $Q$ — середина $DA$

   Если соединить $M, N, P, Q$, получится квадрат, повернутый на 45° внутри исходного.

3. Найдём длину стороны нового квадрата:
   Известно, что длина диагонали нового квадрата равна стороне исходного квадрата, потому что он соединяет середины соседних сторон. То есть:

   $$\text{диагональ нового квадрата} = 8 \text{ см}$$

   Площадь квадрата через диагональ $d$ вычисляется так:

   $$S = \frac{d^2}{2}$$

4. Подставляем значения:

   $$S = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32 \text{ см²}$$

Ответ:

Это значит, что площадь нового квадрата, образованного соединением середины каждой пары соседних сторон исходного квадрата, равна 32 см².