Периметр основания правильной треугольной призмы равен 24 см. Вычислить диагональ боковой грани, если её площадь равна 48 см².

Для того чтобы найти диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, нужно использовать данные о периметре основания и площади боковой грани.

1. Определим сторону основания:
   Поскольку основание призмы является правильным треугольником, то все его стороны равны. Периметр основания правильного треугольника равен сумме его трёх сторон, то есть:

   $$P = 3 \cdot a$$

   где $a$ — длина стороны основания. Из условия задачи известно, что периметр основания равен 24 см:

   $$3a = 24 \implies a = 8 \text{ см}.$$

2. Найдем высоту боковой грани:
   Боковая грань треугольной призмы является прямоугольным треугольником, у которого одна из сторон — это высота, а другая — это длина ребра призмы (в данном случае это сторона основания). Площадь боковой грани можно вычислить по формуле для площади прямоугольного треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,$$

   где $S$ — площадь боковой грани, $a$ — длина основания, а $h$ — высота боковой грани.

   Из условия задачи площадь боковой грани равна 48 см²:

   $$48 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h \implies 48 = 4h \implies h = 12 \text{ см}.$$

3. Вычислим диагональ боковой грани:
   Диагональ боковой грани является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длины $a = 8 \text{ см}$ и $h = 12 \text{ см}$. Для нахождения гипотенузы применим теорему Пифагора:

   $$d^2 = a^2 + h^2$$ $$d^2 = 8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208$$ $$d = \sqrt{208} \approx 14,42 \text{ см}.$$

Таким образом, диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна примерно 14,42 см.