Найдите синус альфа и котангенс альфа, если известно, что тангенс альфа равен 3 и альфа не лежит в

Ответы на вопрос

Отвечает Рейх Валерия.

Давай разберёмся шаг за шагом.

Нам известно:

\tan \alpha = 3

и угол $\alpha$ не в третьей четверти. Напомним, что третья четверть — это угол от 180° до 270° (или от $\pi$ до $3\pi/2$ в радианах).

Тангенс определяется как:

\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.

Если $\tan \alpha = 3$ , то можно положить:

\sin \alpha = 3 \cos \alpha.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Подставляем $\sin \alpha = 3 \cos \alpha$ :

(3 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1

9 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

10 \cos^2 \alpha = 1

\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}.

Поскольку $\alpha$ не в третьей четверти, возможны первая и вторая четверти:

Тангенс в первой четверти положительный, во второй четверти — отрицательный. Нам дано $\tan \alpha = 3 > 0$ , значит, угол в первой четверти.

Следовательно:

\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}, \quad \sin \alpha = 3 \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}

Котангенс — это обратная величина тангенса:

\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{3}.

\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \cot \alpha = \frac{1}{3}.

Если хочешь, можно ещё записать $\sin \alpha$ в рационализованном виде:

\sin \alpha = \frac{3 \sqrt{10}}{10}.

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Найдите синус альфа и котангенс альфа, если известно, что тангенс альфа равен 3 и альфа не лежит в третьей четверти.