(1-cos6x)*cos2x=sin^2 3x

Давай разберём уравнение:

Пошаговое решение:

Шаг 1. Преобразуем левую часть

Напомним формулу для двойного аргумента:

Применим её к $\sin^2 3x$:

Тогда уравнение становится:

Шаг 2. Вынесем общий множитель

Если $1 - \cos 6x \neq 0$, то можем поделить обе части на $1 - \cos 6x$:

Если $1 - \cos 6x = 0$, это отдельный случай, который нужно рассмотреть отдельно.

Шаг 3. Решим основной случай $\cos 2x = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ имеет решение:

Здесь $\theta = 2x$, значит:

Делим на 2:

Шаг 4. Рассмотрим отдельный случай $1 - \cos 6x = 0$

Тогда $\cos 6x = 1$, значит:

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$(1 - \cos 6x) \cdot \cos 2x = 0$ (так как $1 - \cos 6x = 0$), а $\sin^2 3x = \sin^2 (3 \cdot \frac{\pi k}{3}) = \sin^2 (\pi k) = 0$. Всё верно.

Значит, решения этого случая тоже подходят:

✅ Шаг 5. Объединим решения

Мы получили:

1. Из основного случая: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

2. Из отдельного случая: $x = \frac{\pi k}{3}$

Но заметим, что $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ и $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ уже входят в последовательность $x = \frac{\pi k}{3}$, если правильно подобрать $k$.

Следовательно, все решения можно записать компактно как:

Если хочешь, я могу нарисовать маленькую схему, которая визуально покажет, как пересекаются функции $(1 - \cos 6x) \cos 2x$ и $\sin^2 3x$ для проверки.

Хочешь, чтобы я это сделал?