Найти наибольшее значение функции \( y = \log_8 (503 - 6x - x^2) - 3 \).

Функция задана так:

Нужно найти её наибольшее значение.

Логарифмическая функция с основанием $8$ возрастает, так как $8>1$. Значит, чтобы значение всей функции было максимальным, нужно максимизировать выражение под логарифмом:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Это парабола с ветвями вниз, потому что коэффициент при $x^2$ отрицательный. Значит, наибольшее значение достигается в вершине параболы.

Найдём абсциссу вершины:

Здесь:

Тогда:

Теперь найдём максимальное значение выражения под логарифмом:

Значит, максимальное значение функции:

Так как

то

Следовательно:

Ответ: