Рассмотрим первую функцию:

Выделим полный квадрат:

Значит, вершина параболы находится в точке:

Парабола направлена ветвями вверх, потому что коэффициент при $x^2$ положительный: $2>0$.

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

а) На отрезке $[0;3]$

Функция:

Вершина параболы находится при $x=1$. Число $1$ входит в отрезок $[0;3]$, значит, там будет наименьшее значение.

Найдем значение функции в вершине:

Теперь проверим концы отрезка:

Сравниваем значения:

Ответ:

б) На промежутке $(-\infty;-2)$

Промежуток открыт справа, то есть точка $x=-2$ не входит в область.

Функция:

На промежутке $(-\infty;-2)$ парабола убывает, потому что вершина находится в точке $x=1$, а весь данный промежуток лежит левее вершины.

Найдем значение функции при $x=-2$:

Но $x=-2$ не входит в промежуток, поэтому значение $19$ функция не принимает.

Когда $x\to -\infty$, значение функции стремится к $+\infty$. Поэтому наибольшего значения нет.

Ответ:

При этом нижняя грань значений равна $19$, но она не достигается.

Построить график функции

Дана функция:

Это квадратичная функция, ее график — парабола.

Коэффициент при $x^2$ отрицательный:

Значит, ветви параболы направлены вниз.

Выделим полный квадрат:

Значит, вершина параболы:

Ось симметрии:

Для построения можно взять несколько точек:

Точка: