Решите логарифмическое неравенство, ЕГЭ, математика профиль, 15 задание, очень нужно!
Log 7 3/x + log 7 (x^2 - 7x + 11) <= log 7 (x^2 - 7 x + 3/x + 10)

Область определения:

\(x>0\), \(x^2-7x+11>0\).

Так как основание логарифма \(7>1\), знак неравенства не меняется. Сложим логарифмы слева:

\[\log_7\frac{3}{x}+\log_7(x^2-7x+11)=\log_7\frac{3(x^2-7x+11)}{x}\]

Получаем:

\[\frac{3(x^2-7x+11)}{x}\le x^2-7x+\frac{3}{x}+10\]

Так как \(x>0\), умножаем на \(x\):

\[3(x^2-7x+11)\le x(x^2-7x+10)+3\]

\[0\le x^3-10x^2+31x-30\]

Разложим на множители:

\[x^3-10x^2+31x-30=(x-2)(x-3)(x-5)\]

Значит:

\[(x-2)(x-3)(x-5)\ge 0\]

Отсюда:

\[x\in[2;3]\cup[5;+\infty)\]

Теперь учитываем \(x^2-7x+11>0\). Корни:

\[x=\frac{7-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{7+\sqrt5}{2}\]

Значит, подходит:

\[x\in\left[2;\frac{7-\sqrt5}{2}\right)\cup[5;+\infty)\]

Ответ: \(\left[2;\frac{7-\sqrt5}{2}\right)\cup[5;+\infty)\).

0 0 Пожаловаться