Группа «Пианола» разработала специальное круговое пианино, где играющий стоит внутри кольца, образованного клавишами. Их пианино имеет 31 клавишу. Фронтмен группы начинает играть мелодию: он нажимает на клавишу, отступает на одну клавишу налево от нажатой и жмёт, затем отступает ещё на две клавиши налево и жмёт, затем отступает дальше на три клавиши налево и жмёт (то есть, в четвёртый раз фронтмен нажал шестую клавишу от той клавиши, которая была нажата первой). На каком по счёту нажатии фронтмен нажмёт на клавишу, с которой начинал?

Фронтмен нажмёт на исходную клавишу на 31-м нажатии.

Пояснение: пронумеруем клавиши от 0 до 30. Пусть первое нажатие приходится на клавишу 0. Перед вторым нажатием он отступает на 1 клавишу влево, перед третьим — ещё на 2, и так далее. Перед n-м нажатием суммарный сдвиг составит \( 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2} \) клавиш влево. Положение клавиши при n-м нажатии: \( P_n = -\frac{(n-1)n}{2} \mod 31 \).

Возврат к исходной клавише означает \( P_n \equiv 0 \pmod{31} \), то есть \( \frac{(n-1)n}{2} \) должно делиться на 31. Поскольку 31 — простое число, а \( n \) и \( n-1 \) взаимно просты, одно из них должно делиться на 31. Наименьшее \( n > 1 \), удовлетворяющее этому условию, — \( n = 31 \). Проверка: \( \frac{30 \cdot 31}{2} = 465 \), что кратно 31. Значит, на 31-м нажатии он снова попадёт на начальную клавишу.

0 0 Пожаловаться