Корень n-й степени и его свойства.

Корень \(n\)-й степени из числа \(a\) — это такое число, которое при возведении в степень \(n\) даёт \(a\).

Записывают так:

\[\sqrt[n]{a}=b\]

Это значит:

\[b^n=a\]

Например:

\[\sqrt[3]{8}=2,\quad \text{потому что } 2^3=8\]

Главные свойства корня:

• \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\), если выражения имеют смысл.
• \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\), где \(b\ne 0\).
• \(\sqrt[n]{a^n}=a\), если \(n\) нечётное.
• \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\), если \(n\) чётное.
• \((\sqrt[n]{a})^n=a\), если корень определён.
• \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\), если можно перейти к степени с дробным показателем.

Для чётного \(n\), например для квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(a\ge 0\). Для нечётного \(n\) корень можно извлекать и из отрицательных чисел: \(\sqrt[3]{-8}=-2\).

0 0 Пожаловаться