Пятизначное число, в записи которого нет нулей, делится на 54. Из него вычеркнули одну цифру, получили четырёхзначное число, делящееся на 54. Из этого числа тоже вычеркнули одну цифру — получили трёхзначное число, делящееся на 54. Наконец, после вычёркивания ещё одной цифры, получилось число 54. Найдите исходное число.

Рассмотрим процесс в обратную сторону: в числе 54 каждый раз нужно вставить одну ненулевую цифру так, чтобы получалось число, кратное 54.

Число $54$ уже кратно 54.

1. Ищем трёхзначное число

После удаления одной цифры из трёхзначного числа должно получиться 54. Значит, возможны только виды:

где $a$ — цифра от 1 до 9.

• $a54=100a+54$. Для делимости на 54 нужно, чтобы $100a$ делилось на 54. Это невозможно при $a\le 9$.

• $5a4=504+10a$. Так как

  $$504=54\cdot9+18,$$

  получаем условие

  $$18+10a\equiv0\pmod{54}.$$

  Отсюда $a=9$.

• $54a=540+a=54\cdot10+a$. Тогда $a$ должна была бы делиться на 54, что невозможно.

Следовательно, трёхзначное число единственное:

2. Ищем четырёхзначное число

Нужно вставить одну цифру в 594:

Проверим варианты.

• $a594=1000a+594$. Поскольку $594$ уже кратно 54, нужно, чтобы $1000a$ делилось на 54. Это невозможно для цифры $a$.

• $5a94=5094+100a$. Здесь

  $$5094=54\cdot94+18.$$

  Значит,

  $$18+100a\equiv0\pmod{54},$$

  откуда $a=9$.

• $59a4=5904+10a$, причём

  $$5904=54\cdot109+18.$$

  Получается то же условие, и снова $a=9$.

• $594a=5940+a=54\cdot110+a$. Это возможно только при $a=0$, но нули запрещены.

Итак,

3. Ищем исходное пятизначное число

Вставляем цифру в 5994:

Первый и последний варианты невозможны: в первом случае пришлось бы требовать делимость $10000a$ на 54, а в последнем — цифра $a$ должна была бы делиться на 54.

Для трёх внутренних вариантов получаются условия соответственно:

Во всех случаях единственная подходящая цифра от 1 до 9 — это $a=9$. Поэтому получается число

Проверка:

где каждый раз вычёркивается одна цифра 9, и

Ответ: