Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O. Из точки O опустили перпендикуляр OP на сторону AB. Прямая OP пересекает сторону CD в точке Q. Найдите OQ, если AD = 2, AB = 1 и угол CDB = 30°.

Обозначим расстояния от точки пересечения диагоналей до вершин:

Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, удобно ввести координаты:

Все числа $a,b,c,d$ положительны.

Так как хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, по теореме о пересекающихся хордах

то есть

Угол $CDB$ равен $30^\circ$. Отрезок $DB$ направлен вертикально, а в прямоугольном треугольнике $DOC$

Следовательно,

откуда

Подставим это в равенство $ac=bd$:

После сокращения на $d$:

Теперь используем условие $AB=1$. Треугольник $AOB$ прямоугольный, поэтому

Значит,

С учётом $b=\frac{a}{\sqrt3}$:

Следовательно,

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$. По условию $AD=2$, поэтому

Отсюда