В стране Серобурмалиния живёт 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают окраску третьего цвета (например, серый и бурый становятся малиновыми). Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет? Ответ поясните.

Нет, не может.

Обозначим количество серых хамелеонов через С, бурых — Б, малиновых — М. Рассмотрим величину:

С − Б (разность между количеством серых и бурых хамелеонов)

Посмотрим, что происходит при каждой встрече двух хамелеонов разных цветов.

1. Если встречаются серый и бурый:

• С становится на 1 меньше;

• Б становится на 1 меньше.

Разность С − Б не меняется.

2. Если встречаются серый и малиновый:

• серых становится на 1 меньше;

• бурых становится на 2 больше.

Тогда разность изменяется на:

То есть она меняется на число, кратное 3.

3. Если встречаются бурый и малиновый:

• бурых становится на 1 меньше;

• серых становится на 2 больше.

Разность изменяется на:

То есть тоже на число, кратное 3.

Получается, что значение С − Б по модулю 3 всегда остается неизменным.

Изначально:

А число −2 при делении на 3 дает остаток 1.

Если бы все хамелеоны стали одного цвета, возможны три варианта:

• все серые: С = 45, Б = 0, тогда С − Б = 45, а 45 делится на 3 без остатка;

• все бурые: С = 0, Б = 45, тогда С − Б = −45, тоже делится на 3;

• все малиновые: С = 0, Б = 0, тогда С − Б = 0.

Во всех случаях разность С − Б имела бы остаток 0 при делении на 3, а изначально она имела остаток 1.

Так как этот остаток не может измениться, получить ситуацию, когда все хамелеоны одного цвета, невозможно.