1) В стране Серобурмалиния живёт 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают окраску третьего цвета (например, серый и бурый становятся малиновыми). Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет? Ответ поясните.

2) Восстановите цифры, заменённые звёздочками:
*2*5* | 325
*** 1**
*0**
*9**
***
***
0

3) В классе 25 человек. По успеваемости они отличники, хорошисты или троечники. Каждый из ребят занимается одним из следующих видов спорта: волейболом, баскетболом, бегом или шахматами. Докажите, что в классе есть по крайней мере три человека, имеющие одинаковую успеваемость и одинаковые спортивные интересы.

4) Робин-Бобин Барабек сперва хотел съесть несколько коробок конфет «Белочка», но потом передумал и предпочёл «Грильяж». Правда, в коробке «Грильяжа» конфет оказалось на четыре меньше, чем в коробке с «Белочкой», поэтому, чтобы съесть запланированное число конфет — 120, Барабеку пришлось съесть на одну коробку конфет больше, чем он предполагал. Сколько коробок конфет съел Робин-Бобин?

5) Мальчик имел три листа бумаги. Все или некоторые из них он разорвал на три части или на пять частей. Некоторые из получившихся кусков бумаги он опять разорвал на три или на пять частей, и так далее. Мог ли мальчик, действуя таким образом, получить ровно 2000 кусков бумаги? (Ответ объясните)

6) В стране живут 20 рыцарей. Может ли быть так, что у троих из них по 7 врагов, у одиннадцати — по 2 врага, а у шести — по 5 врагов? Ответ поясните.

1) Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет?

Нет, не может.

Обозначим цвета числами:

• серый — 0;

• бурый — 1;

• малиновый — 2.

Посчитаем сумму этих чисел для всех хамелеонов и рассмотрим ее по модулю 3.

Изначально:

Число 49 при делении на 3 дает остаток 1.

Теперь посмотрим, что происходит при встрече двух хамелеонов разных цветов. Например, встречаются цвета 0 и 1. Они становятся цветом 2.

Сумма цветов была:

После изменения:

Остаток при делении на 3 в обоих случаях одинаковый: 1.

То есть остаток суммы цветов при делении на 3 не меняется после любой встречи хамелеонов.

Если бы все хамелеоны стали серыми, сумма была бы:

Если бы все стали бурыми:

Если бы все стали малиновыми:

Все эти числа делятся на 3, то есть дают остаток 0. Но первоначально остаток был 1.

Получается, что перейти к состоянию, когда все хамелеоны одного цвета, невозможно.

2) Восстановите цифры, замененные звёздочками

В условии запись примера отображается с потерянным форматированием:

*2*5* | 325***
1***0***9**
*** ***
03

По такой записи невозможно однозначно восстановить цифры, потому что не видно, где находятся числа, знак действия и промежуточные результаты. Для решения необходимо изображение или точная запись примера в исходном виде.

3) Докажите, что в классе есть хотя бы три человека с одинаковой успеваемостью и одинаковым видом спорта

У каждого ученика есть два признака:

1. успеваемость:

• отличник;

• хорошист;

• троечник.

Всего 3 варианта.

2. вид спорта:

• волейбол;

• баскетбол;

• бег;

• шахматы.

Всего 4 варианта.

Всего возможных сочетаний:

То есть есть только 12 различных групп:

• отличник-волейболист;

• отличник-баскетболист;

• и так далее.

В классе 25 человек.

Представим, что в каждой такой группе было не больше двух человек. Тогда учеников было бы максимум:

Но в классе 25 человек.

Значит, хотя бы в одной из 12 групп должно быть не менее трех учеников.

Следовательно, найдутся три человека с одинаковой успеваемостью и одинаковыми спортивными интересами.

4) Сколько коробок конфет съел Робин-Бобин?

Пусть в коробке «Белочка» было $x$ конфет.

Пусть сначала он планировал съесть $n$ таких коробок.

Тогда:

Но он выбрал «Грильяж». В такой коробке было на 4 конфеты меньше:

Коробок он съел на одну больше:

Раскроем скобки:

Так как $nx=120$, получаем:

Подставим в первое уравнение:

Разделим на 4:

Ищем два последовательных числа, произведение которых равно 30:

Значит:

Сначала он хотел съесть 5 коробок, но съел на одну больше:

Ответ: Робин-Бобин съел 6 коробок конфет.

5) Мог ли мальчик получить ровно 2000 кусков бумаги?

Нет, не мог.

Изначально у мальчика было 3 листа бумаги.

Если один кусок разорвать на 3 части, количество кусков увеличивается на:

Если разорвать на 5 частей, количество увеличивается на:

То есть каждый раз количество кусков увеличивается на четное число.

Начальное количество кусков:

После любых разрывов получится:

Такое число всегда будет нечетным.

Число 2000 — четное.

Значит, получить ровно 2000 кусков невозможно.

6) Может ли быть такая ситуация с рыцарями?

Нет, не может.

Рассмотрим каждого рыцаря как вершину, а наличие врага между двумя рыцарями — как связь между ними.

Тогда количество врагов у каждого рыцаря — это количество его связей.

Посчитаем общее количество связей по степеням:

У трех рыцарей по 7 врагов:

У одиннадцати рыцарей по 2 врага:

У шести рыцарей по 5 врагов:

Общее количество:

Но в любой системе парных связей сумма всех степеней должна быть четной, потому что каждая вражеская пара учитывается два раза: один раз у первого рыцаря и один раз у второго.

Получилось нечетное число 73, что невозможно.

Следовательно, такой ситуации быть не может.