1. Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6: а) без повторений; б) с повторениями? 2. Сколькими способами можно разместить 12 предметов в трех различных ящиках? 3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, короля и ферзя) на первой линии шахматной доски?

1. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Дано множество цифр: 6. Всего имеется 6 различных цифр.

Трёхзначное число состоит из трёх разрядов: сотен, десятков и единиц.

а) Без повторений

Если цифры не могут повторяться, то каждую цифру можно использовать в числе только один раз.

Рассмотрим количество вариантов для каждого разряда:

• Первая цифра (сотни): можно выбрать любую из 6 цифр, то есть 6 способов.

• Вторая цифра (десятки): поскольку одна цифра уже использована, остаётся 5 вариантов.

• Третья цифра (единицы): поскольку две цифры уже использованы, остаётся 4 варианта.

По правилу произведения получаем:

Также можно использовать формулу размещений без повторений:

Подставим значения:

Ответ: а) 120 трёхзначных чисел.

б) С повторениями

Если цифры могут повторяться, то для каждого разряда можно выбирать любую из 6 цифр независимо от предыдущего выбора.

Таким образом:

• Для первой цифры — 6 вариантов.

• Для второй цифры — 6 вариантов.

• Для третьей цифры — 6 вариантов.

По правилу произведения:

Это соответствует формуле размещений с повторениями:

Следовательно:

Ответ: б) 216 трёхзначных чисел.

2. Сколькими способами можно разместить 12 предметов в трёх различных ящиках?

Предположим, что все 12 предметов различны, а каждый ящик может вместить любое количество предметов, в том числе ни одного.

Поскольку ящики различны, каждый предмет можно положить в один из трёх ящиков.

Рассмотрим распределение:

• Первый предмет можно положить в любой из 3 ящиков.

• Второй предмет также можно положить в любой из 3 ящиков.

• Третий предмет — в любой из 3 ящиков.

• И так далее для всех 12 предметов.

Выбор ящика для каждого предмета не зависит от размещения остальных.

По правилу произведения количество способов равно:

Или:

Вычисляем:

Ответ: 531 441 способ, если предметы различны.

Если бы все 12 предметов были одинаковыми, ответ был бы другим. Тогда количество способов распределения определялось бы формулой сочетаний с повторениями:

То есть для одинаковых предметов получилось бы 91 способ. В стандартной постановке этой задачи обычно подразумеваются различные предметы, поэтому основной ответ — 531 441.

3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, короля и ферзя) на первой линии шахматной доски?

На первой горизонтали шахматной доски расположено 8 клеток.

Нам нужно разместить 8 фигур:

• 2 коня;

• 2 слона;

• 2 ладьи;

• 1 короля;

• 1 ферзя.