Как найти минимальную и максимальную точку функции?

Чтобы найти точки минимума и максимума функции, нужно определить, в каких точках функция принимает наименьшие или наибольшие значения по сравнению с соседними точками. Обычно для этого используют производную функции.

Разберём подробно, как находить точки минимума и максимума, на конкретных примерах.

1. Что такое точка минимума и точка максимума?

Точка минимума — это значение аргумента $x$, при котором функция принимает значение меньшее или равное значениям в достаточно близких точках.

Точка максимума — это значение аргумента $x$, при котором функция принимает значение большее или равное значениям в достаточно близких точках.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума функции.

На графике зелёная точка соответствует локальному максимуму, а красная — локальному минимуму.

Важно различать:

• Точку минимума — значение $x$, при котором достигается минимум.

• Минимальное значение функции — значение $f(x)$ в этой точке.

• Точку максимума — значение $x$, при котором достигается максимум.

• Максимальное значение функции — значение $f(x)$ в этой точке.

Например, если минимум достигается при $x=2$, а $f(2)=-5$, то точка минимума — $x=2$, минимальное значение функции — $-5$, а соответствующая точка графика — $(2;-5)$.

2. Алгоритм нахождения точек минимума и максимума

Для дифференцируемой функции применяется следующий алгоритм.

Шаг 1. Найдите производную функции.

Если дана функция $f(x)$, вычислите её первую производную:

Шаг 2. Приравняйте производную к нулю.

Решите уравнение:

Полученные значения $x$ называются стационарными точками.

Также нужно проверить точки, в которых производная не существует, но сама функция определена. Они тоже могут оказаться точками экстремума.

Шаг 3. Определите знак производной.

Разбейте область определения на промежутки найденными точками и проверьте, положительна или отрицательна производная на каждом промежутке.

Шаг 4. Определите тип экстремума.

Это объясняется тем, что:

• При $f'(x)>0$ функция возрастает.

• При $f'(x)<0$ функция убывает.

Если функция сначала возрастала, а затем начала убывать, значит, она достигла локального максимума. Если сначала убывала, а затем начала возрастать — локального минимума.

3. Пример нахождения максимума и минимума

Рассмотрим функцию:

Шаг 1. Находим производную.

Шаг 2. Приравниваем производную к нулю.

Выносим общий множитель:

Получаем две стационарные точки:

Шаг 3. Определяем знаки производной.

Исследуем три промежутка.

• При $x<0$ производная положительная.

• При $0$ производная отрицательная.

• При $x>2$