Напишите уравнение касательной и нормали к линии y = x^2 - 2 в точке М(2; 1).

Дана функция:

Точка $M(2;1)$.

Необходимо составить уравнения касательной и нормали к графику функции.

1. Проверим, принадлежит ли точка графику функции

Подставим $x=2$ в уравнение функции:

Получили $y=2$, но по условию точка $M(2;1)$ имеет ординату $y=1$.

Следовательно, точка $M(2;1)$ не принадлежит графику функции $y=x^2-2$.

Поэтому составить уравнения касательной и нормали к данной кривой непосредственно в точке $M(2;1)$ невозможно.

2. Найдём касательную в точке с абсциссой $x=2$

Вероятно, в условии допущена опечатка и имеется в виду точка $M(2;2)$.

Найдём производную функции:

При $x_0=2$:

Уравнение касательной имеет вид:

Подставим $x_0=2$, $y_0=2$, $y'(2)=4$:

Раскроем скобки:

Получаем уравнение касательной:

3. Найдём уравнение нормали

Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.

Угловой коэффициент нормали равен:

Следовательно:

Уравнение нормали:

Подставим значения:

Раскроем скобки:

Отсюда:

Ответ

Если в условии подразумевалась точка $M(2;2)$, то:

Уравнение касательной:

Уравнение нормали: