Найти полный дифференциал функции z = arcsin(x + y).

Найдём полный дифференциал функции

Шаг 1. Запишем формулу полного дифференциала.

Для функции двух переменных $z=f(x,y)$ полный дифференциал определяется по формуле:

Здесь $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ — частные производные функции по переменным $x$ и $y$.

Шаг 2. Найдём частную производную по $x$.

Воспользуемся формулой производной сложной функции:

В нашем случае $u=x+y$.

При дифференцировании по $x$ переменную $y$ считаем постоянной, поэтому:

Следовательно,

Шаг 3. Найдём частную производную по $y$.

Аналогично, при дифференцировании по $y$ переменную $x$ считаем постоянной:

Получаем:

Шаг 4. Подставим найденные производные в формулу полного дифференциала.

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ:

Полный дифференциал существует при $|x+y|<1$, поскольку при этом выражение под корнем положительно, а знаменатель не равен нулю.