Стороны основания прямого параллелепипеда равны 13 дм и 37 дм, а большая диагональ — 40 дм. Отношение бокового ребра параллелепипеда к большей его диагонали равно 15 : 17. Найдите объём параллелепипеда.

Большая диагональ основания равна \(40\) дм. Найдём вторую диагональ основания по формуле для параллелограмма:

\[ d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2) \]

\[ 40^2+d_2^2=2(13^2+37^2) \]

\[ d_2^2=1476,\qquad d_2=6\sqrt{41} \]

Площадь основания:

\[ S=\frac{d_1d_2}{2}=\frac{40\cdot6\sqrt{41}}{2}=120\sqrt{41}\ \text{дм}^2 \]

Пусть боковое ребро равно \(15x\), а большая диагональ параллелепипеда — \(17x\). Тогда:

\[ (17x)^2=40^2+(15x)^2 \]

\[ 64x^2=1600,\qquad x=5 \]

Следовательно, высота равна \(15\cdot5=75\) дм.

\[ V=S\cdot h=120\sqrt{41}\cdot75=9000\sqrt{41}\ \text{дм}^3 \]

Ответ: \(9000\sqrt{41}\) дм³.

0 0 Пожаловаться