В правильной треугольной пирамиде проведено сечение плоскостью, проходящей через боковое ребро и апофему противолежащей этому ребру боковой грани. Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 45°, а радиус описанной около сечения окружности равен 3√5. Найдите объем пирамиды.

Пусть \(r\) — радиус окружности, описанной около основания пирамиды, а \(h\) — её высота. Проекция бокового ребра на основание равна \(r\). По условию угол между боковым ребром и основанием равен \(45°\), поэтому

\[h=r.\]

Сечение представляет собой треугольник. По формуле радиуса описанной окружности для этого треугольника получаем:

\[R=\frac{\sqrt{10}r}{4}.\]

Так как \(R=3\sqrt{5}\), то

\[\frac{\sqrt{10}r}{4}=3\sqrt{5},\qquad r=6\sqrt{2}.\]

Тогда сторона основания равна \(a=r\sqrt{3}=6\sqrt{6}\), а высота \(h=6\sqrt{2}\).

Площадь равностороннего основания:

\[S_{\text{осн}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}.\]

Объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot6\sqrt{2}=108\sqrt{6}.\]

Ответ: \(108\sqrt{6}\).

0 0 Пожаловаться