Найти длину ребра основания правильной треугольной пирамиды, у которой длина бокового ребра равна 5 дм, а двугранный угол при ребре основания равен 60.

Пусть \(a\) — ребро основания, а \(S\) — вершина пирамиды. Проведём сечение через вершину \(S\), центр основания \(O\) и середину \(M\) стороны основания.

В правильной треугольной пирамиде:

\[ OM=\frac{a\sqrt{3}}{6}. \]

Двугранный угол равен \(60^\circ\), поэтому:

\[ SO=OM\cdot\tan 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\sqrt{3}=\frac{a}{2}. \]

Расстояние от центра равностороннего треугольника до вершины основания:

\[ OV=\frac{a\sqrt{3}}{3}. \]

По теореме Пифагора для бокового ребра \(SV=5\):

\[ 25=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{7a^2}{12}. \]

\[ a=5\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{10\sqrt{21}}{7}\text{ дм}. \]

Ответ: \(\frac{10\sqrt{21}}{7}\) дм.

0 0 Пожаловаться