шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Когда шар и сплошной цилиндр катятся без скольжения с одинаковой скоростью, кинетическая энергия каждого из них делится на две части: кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращения.

Кинетическая энергия тела при катании без скольжения выражается как сумма двух компонентов:
$E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2,$
где:

• $m$ — масса тела,

• $v$ — скорость центра масс,

• $I$ — момент инерции тела относительно оси вращения,

• $\omega$ — угловая скорость.

Поскольку тело катится без скольжения, скорость центра масс и угловая скорость связаны между собой выражением $v = \omega R$, где $R$ — радиус тела.

1. Для шара:
   Момент инерции шара относительно его оси вращения $I_{\text{шар}} = \frac{2}{5} m R^2$.
   Кинетическая энергия шара тогда будет:

   $$E_{\text{шар}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m R^2 \cdot \left( \frac{v}{R} \right)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \frac{7}{10} m v^2.$$

2. Для сплошного цилиндра:
   Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси вращения $I_{\text{цилиндр}} = \frac{1}{2} m R^2$.
   Кинетическая энергия цилиндра будет:

   $$E_{\text{цилиндр}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^2 \cdot \left( \frac{v}{R} \right)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2 = \frac{3}{4} m v^2.$$

Теперь, чтобы найти, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии цилиндра, нужно вычислить их отношение:

Таким образом, кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра в $\frac{14}{15}$ раза, что означает, что кинетическая энергия шара составляет примерно 93,33% от кинетической энергии цилиндра.