Как по графику скорости определить пройденный путь?

Как на «скоростном» графике найти пройденный путь — это буквально посчитать площадь под графиком скорости от начального до конечного момента.

Ключевая идея

• Если по оси X отложено время t, а по оси Y — скорость v(t) (именно «скорость», то есть величина ≥ 0), то путь за интервал [t₁; t₂] равен площади фигуры между графиком и осью времени:
  $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.

• Если на графике отложена «скорость со знаком» (то есть проекция скорости на ось, иначе говоря, «скорость/скорость по направлению»), то площадь с учётом знака даст перемещение $\Delta x = \int v(t)\,dt$, а пройденный путь нужно брать по модулю:
  $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$.

Как действовать на практике (без интегралов)

1. Ступеньки (участки с постоянной скоростью).
   Считайте площадь прямоугольников: $S_i = v_i \cdot \Delta t_i$. Складывайте все $S_i$.

2. Линейные участки (скорость меняется равномерно).
   Берите площади трапеций: $S_i = \dfrac{(v_{\text{нач}} + v_{\text{кон}})}{2}\cdot \Delta t_i$.

3. Произвольная кривая.
   Оцените площадь «клетками» или трапециями: разбейте интервал на мелкие куски $\Delta t$, для каждого возьмите среднее значение скорости и умножьте на $\Delta t$. Это и есть метод трапеций (или прямоугольников).

4. Если скорость бывает отрицательной.

   • Для перемещения учитывайте знак площадей над/под осью t (одна вычитается из другой).

   • Для пути складывайте площади по модулю (всё считаем положительным).

На что обратить внимание

• Единицы измерения. Время в секундах — скорость в м/с; в часах — в км/ч. Приведите к совместимым единицам перед вычислением.

• Масштаб. Если график дан на миллиметровке, считайте клетки: площадь = (число клеток) × (масштаб по времени) × (масштаб по скорости).

• Нули и пересечения. Точки, где v=0, естественно дают нулевой вклад; если график пересекает ось времени, разбейте вычисление по этим точкам.

Короткие примеры

1. Ступенчатый график: 10 м/с в течение 5 с, затем 6 м/с в течение 8 с.
   $S = 10\cdot5 + 6\cdot8 = 50 + 48 = 98\ \text{м}$.

2. Трапеция (равноускоренно от 0 до 20 м/с за 4 с).
   $S = \dfrac{0 + 20}{2}\cdot 4 = 10\cdot4 = 40\ \text{м}$.

3. Смена направления: 5 м/с 3 с вперёд, затем −5 м/с 2 с назад.
   Перемещение: $5\cdot3 + (-5)\cdot2 = 15 - 10 = 5\ \text{м}$.
   Путь: $|5|\cdot3 + |{-5}|\cdot2 = 15 + 10 = 25\ \text{м}$.

Итого: путь по графику «скорость–время» — это всегда площадь под графиком (для пути берем модуль, для перемещения — со знаком). В простых случаях это сумма площадей прямоугольников и трапеций; в общем случае — интеграл.