Расстояние от освещенного предмета до экрана равно 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми равно 20 см. Найдите фокусное расстояние линзы.

Для решения задачи можно воспользоваться уравнением тонкой линзы:

где:

• $f$ — фокусное расстояние линзы,

• $d_1$ — расстояние от объекта до линзы,

• $d_2$ — расстояние от линзы до изображения.

Пусть расстояния между объектом и экраном, а также между двумя положениями линзы, уже известны.

Пусть:

• $D = 100$ см — расстояние от объекта до экрана,

• $x = 20$ см — разница между двумя положениями линзы.

Рассмотрим два положения линзы:

1. В первом положении расстояние от объекта до линзы — $d_1$, а расстояние от линзы до изображения — $d_2$.

2. Во втором положении расстояние от объекта до линзы — $d_1' = d_1 - 20$, а расстояние от линзы до изображения — $d_2' = d_2 + 20$.

В обоих случаях линза дает четкое изображение, то есть:

Также для каждого положения линзы справедливо уравнение тонкой линзы:

Теперь решим систему уравнений. Сначала выразим одно из расстояний через другое:

Подставим это в уравнение линзы для первого положения:

Для второго положения:

Теперь приравняем оба выражения для $\frac{1}{f}$ и решим полученную систему уравнений. Решение этой системы даст фокусное расстояние линзы $f$.