Доказать тождества:
1. (A × B) • rot C = B • (A• ∇) • C - A • (B • ∇) • C ;
2. (A × ∇) × B = (A• ∇) • B + A × rotB - A div B;
A, B - вектора
∇ - набла

Будем доказывать по координатам. Обозначим \( \varepsilon_{ijk} \) как символ Леви-Чивиты.

1. Левая часть:

\[ (A \times B)\cdot \operatorname{rot} C=\varepsilon_{ijk}A_jB_k\varepsilon_{ilm}\partial_l C_m. \]

Используем свёртку символов Леви-Чивиты:

\[ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}. \]

Тогда

\[ (A \times B)\cdot \operatorname{rot} C=A_lB_m\partial_l C_m-A_mB_l\partial_l C_m. \]

Это и есть

\[ B\cdot ((A\cdot \nabla)C)-A\cdot ((B\cdot \nabla)C). \]

Значит, первое тождество доказано.

2. Докажем по компонентам. Считаем, что оператор \( \nabla \) действует на \( B \).

\[ ((A\times \nabla)\times B)_i=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jlm}A_l\partial_m B_k. \]

После свёртки получаем:

\[ ((A\times \nabla)\times B)_i=A_k\partial_iB_k-A_i\partial_kB_k. \]

Теперь преобразуем правую часть:

\[ ((A\cdot \nabla)B+A\times \operatorname{rot}B-A\operatorname{div}B)_i=A_j\partial_jB_i+\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}\partial_lB_m-A_i\partial_jB_j. \]

Средний член равен \( A_m\partial_iB_m-A_l\partial_lB_i \), поэтому первые два слагаемых сокращаются и остаётся:

\[ A_m\partial_iB_m-A_i\partial_jB_j. \]

Это совпадает с левой частью. Второе тождество доказано.

0 0 Пожаловаться