Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x: f(x) = ln(1 + 2x - 8x²)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности \( x = 0 \).

Сначала разложим аргумент логарифма на множители: \( 1 + 2x - 8x^2 = (1+4x)(1-2x) \). Тогда \( f(x) = \ln(1+4x) + \ln(1-2x) \).

Используем стандартное разложение \( \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots \) при \( |u| < 1 \).

Для \( \ln(1+4x) \): \( 4x - \frac{(4x)^2}{2} + \frac{(4x)^3}{3} - \dots = 4x - 8x^2 + \frac{64}{3}x^3 - \dots \)

Для \( \ln(1-2x) \): \( (-2x) - \frac{(-2x)^2}{2} + \frac{(-2x)^3}{3} - \dots = -2x - 2x^2 - \frac{8}{3}x^3 - \dots \)

Складываем: \( f(x) = (4x - 2x) + (-8x^2 - 2x^2) + \left(\frac{64}{3} - \frac{8}{3}\right)x^3 + \dots = 2x - 10x^2 + \frac{56}{3}x^3 + \dots \)

Ряд сходится при \( |x| < \frac{1}{4} \).

0 0 Пожаловаться