Докажите, что 4 точки лежат в одной плоскости:

A(1, 2, -1)

B(0, 1, 5)

C(-1, 2, 1)

D(2, 1, 3)

Чтобы доказать, что точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, покажем, что векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю.

Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1; 1-2; 5-(-1)) = (-1; -1; 6)\)

\(\overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1; 2-2; 1-(-1)) = (-2; 0; 2)\)

\(\overrightarrow{AD} = D - A = (2-1; 1-2; 3-(-1)) = (1; -1; 4)\)

Вычислим смешанное произведение \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})\).

Сначала векторное произведение \(\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}\):

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot4 - 2\cdot(-1)) - \mathbf{j}(-2\cdot4 - 2\cdot1) + \mathbf{k}(-2\cdot(-1) - 0\cdot1) = (2; 10; 2) \]

Теперь скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot (2; 10; 2) = (-1)\cdot2 + (-1)\cdot10 + 6\cdot2 = -2 -10 +12 = 0\).

Смешанное произведение равно нулю, значит, векторы компланарны, и все четыре точки лежат в одной плоскости.

0 0 Пожаловаться