Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение выражения (a-x)(x+4) больше 4.

Выражение \( (a-x)(x+4) \) — квадратичная функция относительно \(x\):

\[ f(x) = (a-x)(x+4) = -x^2 + (a-4)x + 4a. \]

График — парабола ветвями вниз, наибольшее значение достигается в вершине:

\[ x_0 = \frac{a-4}{2}. \]

Подставим \(x_0\) в \(f(x)\):

\[ f_{\text{max}} = -\left(\frac{a-4}{2}\right)^2 + (a-4)\cdot\frac{a-4}{2} + 4a = \frac{(a-4)^2}{4} + 4a. \]

По условию \(f_{\text{max}} > 4\):

\[ \frac{(a-4)^2}{4} + 4a > 4 \quad \Rightarrow \quad (a-4)^2 + 16a > 16 \quad \Rightarrow \quad a^2 + 8a > 0. \]

Решаем неравенство \(a(a+8) > 0\). Ответ: \(a \in (-\infty, -8) \cup (0, +\infty)\).

Отправить ответ