Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: √3·sin(x/6) + cos(x/6) = √2.

Приведём уравнение к виду \( R \sin\left(\frac{x}{6} + \varphi\right) = \sqrt{2} \).

Коэффициенты: \( a = \sqrt{3} \), \( b = 1 \). Тогда \( R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \).

Угол \( \varphi \) находим из условий \( \sin\varphi = \frac{b}{R} = \frac{1}{2} \), \( \cos\varphi = \frac{a}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \varphi = \frac{\pi}{6} \).

Уравнение принимает вид: \( 2 \sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2} \) \(\Rightarrow\) \( \sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Решаем:

• \( \frac{x}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) \(\Rightarrow\) \( \frac{x}{6} = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{\pi}{2} + 12\pi k \);
• \( \frac{x}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \) \(\Rightarrow\) \( \frac{x}{6} = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{7\pi}{2} + 12\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Наибольший отрицательный корень получим при \( k = -1 \) во второй серии: \( x = \frac{7\pi}{2} - 12\pi = -\frac{17\pi}{2} = -8{,}5\pi \).

Ответ: \( -\frac{17\pi}{2} \).

0 0 Пожаловаться