Докажи тождество: cos²(п+а)+sin²(п/2-а)-cos(п-а)cos(2п-а)/tg²(п/2-а)ctg²(3п/2-а)=3cos²а​

Докажем при тех значениях \(a\), при которых исходная дробь определена.

Используем формулы приведения:

\[ \cos(\pi+a)=-\cos a,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos a \]

Значит:

\[ \cos^2(\pi+a)=\cos^2 a,\quad \sin^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos^2 a \]

Далее:

\[ \cos(\pi-a)=-\cos a,\quad \cos(2\pi-a)=\cos a \]

Поэтому:

\[ \cos(\pi-a)\cos(2\pi-a)=-\cos^2 a \]

И ещё:

\[ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\operatorname{ctg}a,\quad \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=\operatorname{tg}a \]

Тогда знаменатель равен:

\[ \operatorname{ctg}^2a\cdot \operatorname{tg}^2a=1 \]

Подставляем всё в левую часть:

\[ \cos^2a+\cos^2a-\frac{-\cos^2a}{1}=3\cos^2a \]

Получили правую часть, значит тождество доказано.

0 0 Пожаловаться