Боковое ребро четырёхугольной пирамиды равно 5 см, а площадь всей поверхности

Ответы на вопрос

Отвечает Петров Филипп.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду, у которой основание — квадрат со стороной $a$ .

Боковое ребро равно 5 см, значит каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами:

5, 5, a

Площадь всей поверхности состоит из площади основания и площади четырёх боковых граней:

S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}

По условию:

S_{полн} = 16

Площадь основания:

S_{осн} = a^{2}

Высота боковой грани находится по теореме Пифагора. Она делит сторону основания пополам:

h = 5^{2} - (\frac{a}{2})^{2}

Площадь одной боковой грани:

S_{1} = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} a 25 - \frac{a ^{2}}{4}

Четыре боковые грани имеют площадь:

S_{бок} = 4 S_{1} = 2 a 25 - \frac{a ^{2}}{4}

Получаем уравнение:

a^{2} + 2 a 25 - \frac{a ^{2}}{4} = 16

Перенесём первый член:

2 a 25 - \frac{a ^{2}}{4} = 16 - a^{2}

Возведём в квадрат:

4 a^{2} (25 - \frac{a ^{2}}{4}) = (16 - a^{2})^{2}

100 a^{2} - a^{4} = 256 - 32 a^{2} + a^{4}

2 a^{4} - 132 a^{2} + 256 = 0

Разделим на 2:

a^{4} - 66 a^{2} + 128 = 0

Пусть:

x = a^{2}

Тогда:

x^{2} - 66 x + 128 = 0

Находим корни:

x = \frac{66 \pm 6 6 ^{2} - 4 \cdot 128}{2}

x = \frac{66 \pm 3844}{2}

x = \frac{66 \pm 62}{2}

Получаем:

x = 64 или x = 2

Так как площадь всей поверхности всего 16 см², вариант $a^{2} = 64$ невозможен (основание уже имело бы площадь 64 см²).

Значит:

a^{2} = 2

a = 2

Ответ:

2 см

Сторона основания четырёхугольной пирамиды равна примерно 1,4 см.

Боковое ребро четырёхугольной пирамиды равно 5 см, а площадь всей поверхности — 16 см². Вычислите длину стороны основания.