Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Через середины рёбер SC и AB проведена плоскость, параллельная диагонали BD основания. а) Найдите отношение k, в котором эта плоскость делит ребро SB, считая от вершины пирамиды. б) Найдите объём V того из многогранников, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, который содержит вершину пирамиды, если объём пирамиды равен 100.

Обозначим через $P$ точку пересечения данной плоскости с ребром $SB$.

Выберем удобную систему координат. Поскольку основание — параллелограмм, можно считать:

Такое аффинное преобразование не изменяет отношения отрезков на одной прямой и отношения объёмов.

Пусть $M$ — середина $SC$, а $N$ — середина $AB$. Тогда

Направляющий вектор диагонали $BD$:

Плоскость проходит через точки $M$, $N$ и параллельна вектору $\overrightarrow{BD}$. Её уравнение имеет вид

Действительно, обе точки $M$ и $N$ удовлетворяют этому уравнению, а вектор $(-1,1,0)$ параллелен плоскости.

а) Деление ребра $SB$

Точка ребра $SB$ имеет координаты

Подставим их в уравнение плоскости:

Следовательно,

Поэтому

Таким образом, считая от вершины $S$,

или, если под $k$ понимается доля всего ребра, то

б) Объём многогранника, содержащего вершину $S$

Найдём остальные точки пересечения плоскости с рёбрами пирамиды.

На ребре $SD$ точка имеет вид $(0,t,t)$, поэтому

Обозначим эту точку через $Q$:

Плоскость пересекает $SC$ в его середине:

На плоскости основания $z=1$ уравнение сечения принимает вид

Поэтому, кроме середины $AB$,

плоскость проходит через середину $AD$: