В спортивной секции занимается 6 девочек и 5 мальчиков. а) Сколькими способами можно составить команду на соревнования из 5 человек, чтобы в команду входили хотя бы 3 мальчика? b) Сколькими способами можно построить всех ребят в один ряд так, чтобы все мальчики стояли рядом?

Дано:

• 6 девочек;

• 5 мальчиков;

• всего 11 человек.

Разберём каждую задачу отдельно.

а) Сколькими способами можно составить команду из 5 человек, чтобы в ней было хотя бы 3 мальчика?

Условие «хотя бы 3 мальчика» означает, что в команде может быть 3, 4 или 5 мальчиков.

Рассмотрим все три случая.

1-й случай: 3 мальчика и 2 девочки.

Из 5 мальчиков выбираем 3:

Из 6 девочек выбираем 2:

Количество способов составить такую команду:

2-й случай: 4 мальчика и 1 девочка.

Из 5 мальчиков выбираем 4:

Из 6 девочек выбираем 1:

Количество способов:

3-й случай: 5 мальчиков и 0 девочек.

В этом случае в команду входят все 5 мальчиков. Такую команду можно составить только одним способом:

Теперь складываем результаты всех трёх случаев:

Ответ к пункту а): 181 способ.

б) Сколькими способами можно построить всех ребят в один ряд так, чтобы все мальчики стояли рядом?

Всего у нас 11 человек: 5 мальчиков и 6 девочек.

По условию все 5 мальчиков должны стоять рядом. Поэтому будем считать их одной группой (одним блоком).

Тогда для расстановки у нас получается:

• 1 блок из 5 мальчиков;

• 6 отдельных девочек.

Всего получается 7 объектов, которые можно переставить между собой.

Шаг 1. Найдём, сколькими способами можно расположить эти 7 объектов:

Шаг 2. Учтём, что мальчики внутри своего блока тоже могут меняться местами.

Пять мальчиков можно переставить:

Шаг 3. Чтобы получить общее количество способов построения, перемножаем результаты:

Ответ к пункту б): 604800 способов.

Итоговый ответ

а) $181$ способ составить команду из 5 человек, в которой будет не менее 3 мальчиков.

б) $604800$ способов построить всех 11 ребят в один ряд так, чтобы все 5 мальчиков стояли рядом.