докажите, что четырехугольник ABCD-параллелограмм, если A(4;2), B(5;7), C(-3;4), D(-4;-1). найдите координаты точки пересечения его диагоналей.


ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!!!!!!!!!!!

Дано:

A(4; 2), B(5; 7), C(−3; 4), D(−4; −1).

Нужно:

1. Доказать, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

2. Найти координаты точки пересечения его диагоналей.

1. Докажем, что ABCD — параллелограмм

Четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно параллельны.

Найдём координаты векторов противоположных сторон:

Получили:

Теперь найдём другую пару противоположных сторон:

Получили:

Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника попарно равны и параллельны.

Следовательно, ABCD — параллелограмм, что и требовалось доказать.

2. Найдём точку пересечения диагоналей

Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Обозначим точку пересечения диагоналей через O.

Значит, точка O — середина диагонали AC.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:

Подставляем координаты точек A(4; 2) и C(−3; 4):

Получаем:

Ответ:

ABCD — параллелограмм, так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Точка пересечения диагоналей: