Прологарифмировать с основанием 2: [tex]z=8a^{3} (a+4)^{5} /\sqrt{a-b}[/tex]

Дано выражение:

Требуется прологарифмировать его по основанию 2.

Решение:

Прологарифмируем обе части равенства:

Воспользуемся основными свойствами логарифмов:

1. Логарифм частного: \[ \log_2\frac{x}{y}=\log_2 x-\log_2 y. \]

2. Логарифм произведения: \[ \log_2(xy)=\log_2 x+\log_2 y. \]

3. Логарифм степени: \[ \log_2 x^n=n\log_2 x. \]

Шаг 1. Применяем свойство логарифма частного:

Шаг 2. Раскладываем логарифм произведения на сумму логарифмов:

Шаг 3. Выносим показатели степеней за знак логарифма.

Учитываем, что:

Получаем:

Шаг 4. Вычисляем логарифм числа 8:

так как $2^3=8$.

Подставляем полученное значение.

Ответ:

Это стандартный ответ при условиях $a>0$ и $a>b$.

Примечание: Если учитывать всю область определения исходного выражения и логарифма $z$, то также возможен случай $a<-4$, $a>b$. Поэтому наиболее общая запись ответа имеет вид: