При каком значении параметра a значение выражения x21+x22 будет наименьшим, если x1, x2 — корни уравнения x2+2ax+2a–3=0?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения

Нужно найти значение параметра $a$, при котором выражение $x_1^2+x_2^2$ принимает наименьшее значение.

1. Используем теорему Виета.

Для данного квадратного уравнения получаем:

2. Преобразуем выражение.

Воспользуемся тождеством:

Подставим значения из теоремы Виета:

Раскроем скобки:

3. Найдём минимальное значение.

Выделим полный квадрат:

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен,

наименьшее значение выражения достигается, когда

Отсюда:

Ответ: $\boxed{a=\frac12}$.

При этом наименьшее значение выражения $x_1^2+x_2^2$ равно $5$.