Для единичного квадрата abcd найдите скалярное произведение векторов а) ас и bd; б) ab и ac.
Пожалуйста помогите, сорри что только 35 баллов срочно надо

Дано: квадрат $ABCD$, сторона которого равна 1.

Найти:

а) $\vec{AC}\cdot\vec{BD}$

б) $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$

Решение:

Вспомним формулу скалярного произведения векторов:

где $\alpha$ — угол между векторами.

а) Найдём $\vec{AC}\cdot\vec{BD}$.

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ направлены вдоль диагоналей квадрата.

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол между векторами равен $90^\circ$.

Так как $\cos90^\circ=0$, получаем:

б) Найдём $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.

Сторона квадрата $AB=1$.

По теореме Пифагора диагональ:

Диагональ квадрата делит прямой угол пополам, поэтому угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен $45^\circ$.

Подставляем в формулу:

Поскольку $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, получаем:

Ответ: