Как построить правильный девятиугольник?

Коротко: правильный девятиугольник (нонAGON) — это фигура с 9 равными сторонами и 9 равными углами. Центральный угол равен 360°/9 = 40°, а значит задача сводится к делению окружности на 9 равных дуг. Ниже — несколько практичных способов.

1) Самый простой «чертёжный»: с транспортиром (точно)

1. Постройте окружность с центром O и произвольным радиусом R. Отметьте точку A на окружности — это первая вершина.

2. Проведите луч OA. На транспортире отложите у центра O угол 40° и проведите луч к окружности — получите вторую вершину B.

3. Продолжайте откладывать по 40° от центра (или просто последовательно шагайте тем же углом вокруг круга), пока не получите 9 точек.

4. Соедините соседние точки отрезками — готово.

Проверка: у правильного 9-угольника каждый внутренний угол равен 140°.

2) Точно, но «нерегламентно»: с трисекцией (неусис/отмеченная линейка, либо оригами)

Циркулем и «чистой» линейкой в точности построить 9-угольник нельзя (угол 40° требует трисекции 120°, а она классическими средствами недостижима). Но если у вас есть инструмент/метод, позволяющий трисектировать угол, конструкция становится точной:

1. Постройте окружность центра O и отметьте точку A.

2. Постройте правильный треугольник, вписанный в ту же окружность (шаг радиусом по окружности три раза) — получите вершины A, C, D так, что центральный угол ∠AOC = 120°.

3. Выполните трёхчастное деление угла ∠AOC на три равных по 40°. Лучи пересекут окружность в точках B и B′.

4. Дуга AB — это 40°; откладывайте на окружности хорду AB ещё 7 раз — получите все 9 вершин.

3) Приближённо, но без транспортира: универсальный метод Биона (очень удобен)

Делит окружность примерно на n равных частей, годится и для 9. Погрешность мала и для практики обычно достаточна.

1. Постройте окружность с диаметром AB и центром O.

2. Постройте две окружности с центрами A и B и радиусом AB. Их верхнее пересечение обозначим P (классическая «vesica piscis»).

3. Разделите диаметр AB на 9 равных частей (например, с помощью параллельных через наклонную вспомогательную).

4. Из точки P проведите лучи через деления 1, 2, …, 8 на диаметре, продлевая их до пересечения с исходной окружностью. Эти 9 точек по кругу дадут почти равные дуги (очень точная аппроксимация для 9).

5. Соедините соседние точки — получите правильный на глаз (практически равносторонний) девятиугольник.

4) Если нужна просто «на коленке» точность без делений

Есть быстрый практический приём, опирающийся на легко строимые углы:

1. Постройте окружность центра O и диаметр AB.

2. Постройте центральный угол 60° (вписанный равносторонний треугольник) — легко делается шагом радиуса. Двойной до 120° задаёт дугу в одну треть круга.

3. Теперь каждую треть круга «на глаз с усилителем точности»: разделите хорду соответствующую 120° на 3 равные части по линейной делёжке, и перенесите получившуюся треть хорды циркулем вдоль окружности три раза внутри этой дуги. Так вы получите 3 почти равные дуги по ~40°. Повторите для остальных двух третей. Для аккуратного чертежа этого обычно достаточно.

Что выбрать

• Есть транспортир → способ 1 (быстро и точно).

• Нужна строгая математика с точностью → способ 2, но потребуется инструмент/метод трисекции (неусис/оригами).

• Только циркуль и линейка, но нужна добротная аппроксимация → способ 3 (Бион).

• Черновик/эскиз → способ 4.

Главное: начните с окружности, фиксируйте первую вершину, затем делите круг на девять одинаковых центральных углов (точно или приблизительно), и соединяйте соседние точки — так вы гарантируете равенство сторон.