Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство.

Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника гласит, что в равнобедренном треугольнике, проведенная из вершины, угловая высота является одновременно медианой и биссектрисой.

Доказательство:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$. Обозначим точку $D$ как основание высоты, проведенной из вершины $A$ на основание $BC$. То есть $AD$ — это высота треугольника.

1. Высота: по определению, высота — это отрезок, перпендикулярный основанию, то есть $AD \perp BC$.

2. Медиана: медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой основания. Обозначим $M$ — середину отрезка $BC$. В равнобедренном треугольнике $AB = AC$, а точка $D$ — это точка пересечения высоты с основанием. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины, всегда делит основание пополам, то есть $BD = DC$.

3. Биссектрисой: биссектрисой называется отрезок, который делит угол пополам. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и высота, проведенная из вершины, делит угол $\angle ABC$ пополам, то есть $\angle ABD = \angle ACD$.

Таким образом, отрезок $AD$ является одновременно высотой, медианой и биссектрисой.

Заключение:

Высота, проведенная из вершины в равнобедренном треугольнике, делит основание пополам, перпендикулярна основанию и делит угол при вершине пополам. Это свойство лежит в основе важного утверждения о равнобедренных треугольниках.