Решите, пожалуйста, всё поэтапно и понятно, ОЧЕНЬ НА ВАС НАДЕЮСЬ!! **НОМЕР 1** 1. Перпендикулярны ли векторы a(—6; 9) и b(6; 4)? 2. В прямоугольнике АВСD АС = 12, ∠САD = 30°. Найдите: а) АС * АD; б) ВА * СВ; в) АС * CB. 3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0; —4), В(—3; —5), С(—1; —3). а) Найдите градусную меру острого угла между медианой АD и стороной АС. б) Вычислите АВ * ВС + АВ * СА. **НОМЕР 2** 1. Перпендикулярны ли векторы m (15; 3) и n (2; 10)? 2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС = 8, ∠АВС = 30°, D — середина АВ, Е — середина АС. Найдите: а) АВ * АС; б) АВ * BC; в) ВС * DЕ. 3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(1; 4), В(—3; 2), С(—1; —3). а) Найдите косинус острого угла между медианой СМ и стороной АС. б) Вычислите СМ * МА - МС * АС.

НОМЕР 1

1. Перпендикулярны ли векторы a(—6; 9) и b(6; 4)?

Для того чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{a} = (a_1; a_2)$ и $\mathbf{b} = (b_1; b_2)$ вычисляется по формуле:

Для векторов $\mathbf{a} = (-6; 9)$ и $\mathbf{b} = (6; 4)$:

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

2. В прямоугольнике АВСD АС = 12, ∠САD = 30°. Найдите:

а) $АС \cdot AD$

В прямоугольнике угол между сторонами $АС$ и $AD$ равен $90^\circ$, а угол $\angle САD = 30^\circ$ — это угол между диагональю $АС$ и стороной $AD$. Для нахождения произведения $АС \cdot AD$ используем тригонометрические соотношения.

Сначала находим длину $AD$. Так как $АС = 12$ и $\angle САD = 30^\circ$, то применяем формулу для косинуса:

Известно, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

Отсюда:

Теперь находим $АС \cdot AD$:

б) $ВА \cdot СВ$

В прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам. Поскольку мы знаем длину диагонали $АС = 12$, то:

в) $АС \cdot CB$

В прямоугольнике $АС \parallel BD$, и по теореме Пифагора $АС^2 + AD^2 = BD^2$, но для нахождения произведения $АС \cdot CB$ достаточно просто умножить длины сторон. Мы уже знаем длину диагонали $АС = 12$, а $CB = 12$, так что:

3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0; —4), В(—3; —5), С(—1; —3). Найдите:

а) Градусную меру острого угла между медианой АD и стороной АС.

Для начала находим координаты точки $D$, которая является серединой отрезка $BC$. Координаты точки $D$ рассчитываются по формуле средней точки:

Теперь найдем векторы $AD$ и $AC$: