Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=45°, AB=45. Найдите AC.

Для решения задачи нужно учесть несколько важных геометрических фактов.

1. Пересечение диагоналей прямоугольника всегда происходит в его центре, то есть точка O является серединой обеих диагоналей. Следовательно, для прямоугольника ABCD диагонали AC и BD равны по длине и пересекаются в центре.

2. У нас есть угол BO = 45°. Это означает, что угол между диагональю BD и боковой стороной прямоугольника AB равен 45°. В прямоугольнике угол между стороной и диагональю всегда прямой, то есть угол между стороной AB и диагональю AC — 90°.

3. Используем тригонометрию. В прямоугольном треугольнике ABO, где AB — одна из сторон прямоугольника, а BO — половина длины диагонали, угол между ними 45°. Применим тригонометрическое соотношение:

   $$\sin(45^\circ) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC}$$

   Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{45}{AC}$$

   Решая это уравнение для AC, получаем:

   $$AC = \frac{45}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 45 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 45\sqrt{2}$$

   Таким образом, длина диагонали AC равна $45\sqrt{2}$.