В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см, а диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Чему равна площадь боковой поверхности призмы?

В правильной треугольной призме основание — равносторонний треугольник со стороной
$a = 3$ см, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания (высота призмы $h$).

1) Что такое диагональ боковой грани

Боковая грань правильной треугольной призмы — прямоугольник со сторонами:

• одна сторона равна ребру основания $a$,

• другая сторона равна высоте призмы $h$.

Значит, диагональ этой боковой грани — диагональ прямоугольника $a \times h$.

2) Угол диагонали с плоскостью основания

Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$.

Если провести проекцию этой диагонали на плоскость основания, то вертикальная составляющая “исчезает”, и остается отрезок вдоль ребра основания длиной $a$.
То есть:

• длина проекции диагонали на плоскость основания равна $a$,

• перпендикулярная к основанию составляющая равна $h$.

Для угла $\alpha$ между прямой и плоскостью верно:

Здесь $\alpha = 60^\circ$, значит:

3) Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна:

Периметр равностороннего треугольника:

Тогда:

Ответ: $\boxed{27\sqrt{3}\ \text{см}^2}$.