в трапеции авсд с основаниями ад и бс боковые стороны аб и сд пересекаются в точке F а) докажите что треугольник AFD и BFC подобны б) найдите площадь треугольника AFD если известно что площадь треугольника BFC равна 14 и AB:BF=1:2

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, то есть

Боковые стороны $AB$ и $CD$ (их продолжения) пересекаются в точке $F$.

a) Доказательство подобия $\triangle AFD$ и $\triangle BFC$

Заметим, какие стороны образуют углы в этих треугольниках:

• Точки $A,B,F$ лежат на одной прямой (это прямая $AB$).

• Точки $C,D,F$ лежат на одной прямой (это прямая $CD$).

1) Равенство углов при вершине $F$:

Угол $\angle AFD$ — это угол между прямыми $AF$ и $DF$.
Но $AF$ лежит на прямой $AB$, а $DF$ лежит на прямой $CD$.

Угол $\angle BFC$ — это угол между прямыми $BF$ и $CF$.
Но $BF$ тоже лежит на прямой $AB$, а $CF$ лежит на прямой $CD$.

Значит, оба угла образованы одними и теми же прямыми $AB$ и $CD$, следовательно,

2) Равенство углов при вершинах $D$ и $C$:

Рассмотрим $\angle ADF$ — это угол между $AD$ и $DF$ (то есть между $AD$ и $CD$).

Рассмотрим $\angle BCF$ — это угол между $BC$ и $CF$ (то есть между $BC$ и $CD$).

Так как $AD \parallel BC$, то угол между $AD$ и $CD$ равен углу между $BC$ и $CD$. Поэтому

Итак, у треугольников $\triangle AFD$ и $\triangle BFC$ равны два угла, значит, они подобны по признаку $AA$:

(При этом соответствие вершин такое: $A \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow C$, $F \leftrightarrow F$.)

b) Площадь $\triangle AFD$, если $S_{BFC}=14$ и $AB:BF=1:2$

Из условия $AB:BF=1:2$ следует, что точка $F$ лежит на продолжении $AB$ за точку $B$, то есть порядок точек на прямой такой: $A - B - F$. Тогда

Пусть $AB = x$. Тогда $BF = 2x$, значит

Следовательно,

Так как треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

Значит,