Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям и пересекающая боковые стороны в точках E и F, причём EF = 8. Найдите основания трапеции, если их отношение равно 4.

Для решения задачи воспользуемся свойствами трапеции и теоремой о пропорциональных отрезках, возникающих при проведении прямой, параллельной основаниям трапеции.

Пусть трапеция имеет основания $a$ и $b$, где $a$ — большее основание, $b$ — меньшее. Из условия задачи известно, что отношение оснований равно 4, то есть:

Теперь, рассмотрим прямую $EF$, которая параллельна основаниям трапеции и пересекает боковые стороны в точках $E$ и $F$. Согласно теореме о пропорциональных отрезках, если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, параллельную основаниям, то она делит боковые стороны на отрезки, пропорциональные основаниям трапеции. То есть отношение отрезков, на которые эта прямая делит боковые стороны, будет таким же, как и отношение оснований трапеции.

Пусть длина отрезка $EF$ равна 8. Так как $EF$ пропорционален основаниям трапеции, то можно записать следующее соотношение:

Подставим значение $EF = 8$ и выражение для $a$ через $b$, то есть $a = 4b$:

Упростим уравнение:

Теперь решим это уравнение относительно $b$:

Теперь, зная значение $b$, найдем $a$:

Таким образом, основания трапеции равны:

• большее основание $a \approx 42.67$,

• меньшее основание $b \approx 10.67$.