Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты: A(-3; -1); B(1;2); C(5;-1); D(1;-4). Докажите, что этот четырёхугольник – ромб.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ с вершинами
$A(-3,-1)$, $B(1,2)$, $C(5,-1)$, $D(1,-4)$.

Чтобы доказать, что это ромб, достаточно показать, что все его стороны равны (ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны).

1) Найдём длины сторон по формуле расстояния

Формула расстояния между точками $P(x_1,y_1)$ и $Q(x_2,y_2)$:

Сторона $AB$

Сторона $BC$

Сторона $CD$

Сторона $DA$

2) Сравним результаты

Мы получили:

То есть все четыре стороны равны.

3) Вывод

Так как у четырёхугольника $ABCD$ все стороны равны, то по определению это ромб. Дополнительно можно заметить, что точки расположены симметрично: диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $(1,-1)$, причём $AC$ горизонтальна, а $BD$ вертикальна, то есть они перпендикулярны — это тоже характерный признак ромба.