Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что представим себе куб и два шара: один вписанный в куб, а другой описанный около него.

1. Площадь поверхности вписанного шара:
   Шар, вписанный в куб, касается всех его граней. Радиус такого шара равен половине длины ребра куба. Пусть длина ребра куба равна $a$, тогда радиус вписанного шара будет $r_1 = \frac{a}{2}$.

   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

   $$S = 4 \pi r^2$$

   Для вписанного шара:

   $$S_1 = 4 \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi a^2$$

2. Площадь поверхности описанного шара:
   Шар, описанный около куба, касается всех его вершин. Радиус такого шара равен половине диагонали куба. Диагональ куба с длиной ребра $a$ равна $a\sqrt{3}$, следовательно радиус описанного шара:

   $$r_2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

   Площадь поверхности описанного шара:

   $$S_2 = 4 \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 \pi \times \frac{3a^2}{4} = 3 \pi a^2$$

3. Сравнение площадей:
   Теперь найдем, во сколько раз площадь поверхности описанного шара больше площади поверхности вписанного шара:

   $$\frac{S_2}{S_1} = \frac{3 \pi a^2}{\pi a^2} = 3$$

Ответ: Площадь поверхности шара, описанного около куба, в 3 раза больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб.