В равнобедренной трапеции основания равны 9 дм и 6 дм, а острый угол равен 30°. Найди диагональ трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где основания:

Острый угол трапеции равен $30^\circ$. Нужно найти диагональ.

В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на две боковые части:

Проведём высоту из верхней вершины к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, в котором один катет равен $1{,}5$ дм, а угол при основании равен $30^\circ$.

Обозначим высоту трапеции через $h$. Тогда:

Так как

получаем:

Теперь найдём диагональ. Диагональ соединяет противоположные вершины. Её горизонтальная проекция равна половине суммы оснований:

Диагональ $d$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $7{,}5$ дм и $\frac{\sqrt3}{2}$ дм:

Следовательно,

Ответ:

(Приблизительно $7{,}55$ дм.)