Основанием прямой призмы служит треугольник, стороны которого равны 10, 10 и 12 см. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите объем призмы.

Разберём задачу пошагово.

1. Треугольное основание — равнобедренный треугольник со сторонами $10,10,12$. Полупериметр

Площадь основания по формуле Герона:

2. В прямой призме боковая грань — прямоугольник со сторонами равными стороне основания и высоте призмы $h$. «Меньшая боковая грань» соответствует меньшей стороне основания, то есть стороне $10$ см. Диагональ этой боковой грани имеет горизонтальную проекцию длины $10$ и вертикальную составляющую $h$. Угол между диагональю и плоскостью основания $\varphi$ удовлетворяет

По условию $\varphi=60^\circ$, значит $\tan60^\circ=\sqrt3=\dfrac{h}{10}$, откуда

3. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

Ответ: $\boxed{480\sqrt3\ \text{см}^3}$ (приблизительно $831{.}4\ \text{см}^3$).