Плоскости равностороннего треугольника ABC и квадрата BCDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки A до стороны DE, если AB = 4 см.

Рассмотрим пространственную конфигурацию.

• Треугольник $ABC$ — равносторонний, значит

  $$AB=BC=CA=4.$$

• Квадрат $BCDE$ построен на стороне $BC$, значит его сторона тоже равна $4$.

• Плоскости треугольника $ABC$ и квадрата $BCDE$ перпендикулярны, а их линия пересечения — общая прямая $BC$.

Удобно ввести координаты:

1. Положим $BC$ на ось $x$.

   $$B(0,0,0),\quad C(4,0,0).$$

2. Плоскость треугольника возьмём как плоскость $z=0$ (плоскость $Oxy$).
   Тогда точка $A$ лежит в этой плоскости и образует с $B$ и $C$ равносторонний треугольник.
   Координата $x$ у вершины $A$ — середина отрезка $BC$, то есть $x=2$.
   Высота равностороннего треугольника со стороной 4:

   $$h=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 4=2\sqrt3.$$

   Значит можно взять

   $$A(2,\,2\sqrt3,\,0).$$

3. Плоскость квадрата должна быть перпендикулярна плоскости треугольника и содержать $BC$.
   Возьмём плоскость квадрата как $y=0$ (плоскость $Oxz$).
   Тогда квадрат со стороной 4 можно построить “вверх” по оси $z$:

   $$D(4,0,4),\quad E(0,0,4).$$

   Сторона $DE$ — это отрезок на прямой

   $$y=0,\ z=4,\ x\in[0,4].$$

Теперь найдём расстояние от точки $A(2,2\sqrt3,0)$ до стороны $DE$.

Прямая $DE$ направлена вдоль оси $x$, значит ближайшая точка на ней к $A$ будет иметь тот же $x$, что и $A$, то есть $x=2$. Это попадает в диапазон $[0,4]$, значит ближайшая точка лежит именно на стороне (отрезке) $DE$.

Ближайшая точка:

Тогда искомое расстояние:

Ответ: $2\sqrt7$ см.