В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 2. Найти площадь сечения, проходящего через вершины A, C и D1.

Рассмотрим правильную шестиугольную призму $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все рёбра равны 2. Значит:

• основание — правильный шестиугольник со стороной $2$;

• высота призмы $AA_1=2$.

1) Удобные координаты

Поместим основание в плоскость $z=0$, а верхнее основание в $z=2$.

У правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне, то есть $R=2$. Возьмём вершины так:

Тогда соответствующие верхние вершины имеют $z=2$, в частности

2) Плоскость через $A, C, D_1$ и её сечение с призмой

Найдём, какие ещё вершины/рёбра призмы попадают в эту плоскость.

Посмотрим на точку

Проверим, лежит ли она в той же плоскости, что и $A,C,D_1$. Для этого достаточно заметить, что

и

То есть

Следовательно, четырёхугольник $A C D_1 F_1$ — параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны), а значит плоскость через $A,C,D_1$ действительно пересекает призму по параллелограмму с вершинами:

Искомое сечение — это параллелограмм $ACD_1F_1$.

3) Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними. Возьмём векторы